intégration par partie formule

l’intégration par partie formule est une méthode puissante pour résoudre des intégrales complexes.

 

Intégration par partie formule

L’intégration par parties est une technique de calcul d’intégrales qui permet de transformer une intégrale en une autre, plus simple à calculer.

Elle est basée sur la formule suivante :

∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) – ∫ v(x) u'(x) dx

où u(x) et v(x) sont des fonctions de x, et u'(x) et v'(x) sont leurs dérivées respectives.

Cette formule peut être obtenue à partir de la formule de dérivation du produit, qui donne :

(uv)'(x) = u(x) v'(x) + v(x) u'(x)

En intégrant cette équation des deux côtés et en réarrangeant les termes, on obtient la formule d’intégration par parties.

 

Exemples d’utilisation

L’intégration par parties peut être utilisée pour résoudre des intégrales qui ne peuvent pas être résolues directement.

Voici quelques exemples :

  • ∫ x e^x dx : on choisit u(x) = x et v'(x) = e^x, donc u'(x) = 1 et v(x) = e^x. En appliquant la formule d’intégration par parties, on a :

∫ x e^x dx = x e^x – ∫ e^x dx

= x e^x – e^x + C

  • ∫ ln(x) dx : on choisit u(x) = ln(x) et v'(x) = 1, donc u'(x) = 1/x et v(x) = x. En appliquant la formule d’intégration par parties, on a :

∫ ln(x) dx = x ln(x) – ∫ x (1/x) dx

= x ln(x) – x + C

  • ∫ x^2 cos(x) dx : on choisit u(x) = x^2 et v'(x) = cos(x), donc u'(x) = 2x et v(x) = sin(x). En appliquant la formule d’intégration par parties, on a :

∫ x^2 cos(x) dx = x^2 sin(x) – ∫ 2x sin(x) dx

= x^2 sin(x) + 2x cos(x) – 2 ∫ sin(x) dx

= x^2 sin(x) + 2x cos(x) + 2 sin(x) + C

 

formule d’intégration par partie itérée

La formule d’intégration par partie itérée est utilisée pour intégrer des fonctions produits en répétant l’application de la formule plusieurs fois.

Elle est également connue sous le nom de formule de récurrence de l’intégration par parties.

Un exemple de formule d’intégration par partie itérée est le suivant :

Soit f(x) et g(x) deux fonctions continues et dérivables sur un intervalle [a, b]. La formule d’intégration par partie itérée est donnée par :

∫a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]a^b – ∫a^b f'(x)g(x) dx

En répétant cette formule plusieurs fois, on peut obtenir la formule d’intégration par partie itérée :

∫a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]a^b – ∫a^b f'(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]a^b – [f'(x)g(x)]a^b + ∫a^b f »(x)g(x) dx

et ainsi de suite jusqu’à ce que la dernière intégrale soit devenue facile à calculer.

Par exemple, si l’on souhaite intégrer la fonction f(x) = x^2 sin(x), on peut la décomposer en un produit de deux fonctions : f(x) = x^2 sin(x) = x^2 g(x), où g(x) = sin(x). En appliquant la formule d’intégration par partie itérée, on obtient :

∫ f(x) dx = ∫ x^2 sin(x) dx = -x^2 cos(x) + 2x sin(x) – 2 cos(x) + C

où C est la constante d’intégration.

 

 

Quels choix faire pour les variantes :

Lorsque vous utilisez la méthode d’intégration par parties, il est important de choisir judicieusement les fonctions U et V afin de simplifier le calcul de l’intégrale.

Voici quelques conseils pour choisir les fonctions U et V :

  1. Choisir U : il est préférable de choisir U comme une fonction qui sera simplifiée après dérivation. Les fonctions courantes pour U incluent les polynômes, les fonctions exponentielles et les fonctions trigonométriques.
  2. Choisir V : il est préférable de choisir V comme une fonction qui peut être facilement intégrée. Les fonctions courantes pour V incluent les logarithmes naturels et les fonctions trigonométriques.
  3. Essayer plusieurs combinaisons : il est parfois nécessaire d’essayer différentes combinaisons de U et V avant de trouver la bonne paire qui simplifie le calcul de l’intégrale.
  4. Éviter les boucles infinies : il est important de s’assurer que le choix de U et V ne mène pas à une boucle infinie lors de l’application de la méthode d’intégration par parties. Si cela se produit, vous devrez peut-être essayer une autre combinaison de fonctions.

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