Voici formule des probabilités totales avec des exemples de plusieurs cas.
La formule des probabilités totales :
La formule des probabilités totales est un outil mathématique utilisé pour calculer la probabilité d’un événement en utilisant des informations sur les probabilités de sous-événements.
Elle est largement utilisée en statistique et en théorie des probabilités pour calculer les probabilités conditionnelles.
La formule des probabilités totales
La formule des probabilités totales stipule que la probabilité d’un événement A est égale à la somme des probabilités des sous-événements B, multipliées par la probabilité conditionnelle de A sachant B.
Plus formellement, si B1, B2,…Bn sont des événements mutuellement exclusifs dont l’union forme l’espace de probabilité, alors la probabilité de A est donnée par :
P(A) = P(B1) x P(A|B1) + P(B2) x P(A|B2) +…+ P(Bn) x P(A|Bn)
Cette formule peut être dérivée de la formule de la probabilité conditionnelle :
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
en utilisant la règle de la multiplication pour développer P(A ∩ B) en termes de P(A|B) et P(B).
exemple d’utilisation de la formule
Voici un exemple d’utilisation de la formule des probabilités totales :
Supposons que vous travaillez pour une entreprise qui vend des produits en ligne. Vous avez deux entrepôts : l’un situé en Europe et l’autre en Asie. La probabilité qu’un produit soit défectueux est de 2% pour les produits stockés en Europe et de 4% pour les produits stockés en Asie. En outre, les produits stockés en Europe représentent 60% de votre inventaire total, tandis que les produits stockés en Asie représentent les 40% restants.
Maintenant, supposons qu’un client se plaint d’un produit défectueux qu’il a reçu. Quelle est la probabilité que ce produit provienne de l’entrepôt européen ?
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la formule des probabilités totales. Nous pouvons décomposer l’événement « produit défectueux » en deux parties : le produit vient d’Europe ou le produit vient d’Asie. Nous pouvons ensuite calculer la probabilité que chaque événement se produise :
- P(défectueux | Europe) = 0,02
- P(défectueux | Asie) = 0,04
- P(Europe) = 0,6
- P(Asie) = 0,4
En utilisant la formule des probabilités totales, nous pouvons calculer la probabilité que le produit provienne de l’entrepôt européen :
P(Europe | défectueux) = [P(défectueux | Europe) * P(Europe)] / [P(défectueux | Europe) * P(Europe) + P(défectueux | Asie) * P(Asie)] = (0,02 * 0,6) / (0,02 * 0,6 + 0,04 * 0,4) = 0,4286
Nous pouvons donc conclure que la probabilité que le produit provienne de l’entrepôt européen est d’environ 43%.
Exemples d’utilisation conditionnelle avec corrigé
Bien sûr, voici un exemple d’utilisation conditionnelle de la formule des probabilités totales :
Supposons que vous travaillez pour une entreprise de vente en ligne et que vous voulez savoir quelle est la probabilité que les clients achètent un produit sur votre site en fonction de leur pays de résidence.
Vous disposez de données sur les taux de conversion pour chaque pays.
Les données sont les suivantes :
- Les clients américains ont un taux de conversion de 5%
- Les clients européens ont un taux de conversion de 3%
- Les clients asiatiques ont un taux de conversion de 2%
Vous voulez connaître la probabilité qu’un client achète un produit sur votre site sachant qu’il vient d’Asie. Pour cela, vous devez utiliser la formule des probabilités totales de manière conditionnelle :
P(Acheter un produit | Être un client asiatique) = P(Être un client asiatique | Acheter un produit) * P(Acheter un produit) / P(Être un client asiatique)
La probabilité d’être un client asiatique est donnée par la somme des produits entre la probabilité d’être un client asiatique pour chaque taux de conversion et la probabilité de ce taux de conversion :
P(Être un client asiatique) = P(Acheter un produit | Être un client asiatique) * P(Être un client asiatique) + P(Non acheter un produit | Être un client asiatique) * P(Être un client asiatique) = 2% * 100% + 98% * 100% = 100%
La probabilité qu’un client achète un produit est donnée par la somme des produits entre la probabilité d’acheter un produit pour chaque taux de conversion et la probabilité de ce taux de conversion :
P(Acheter un produit) = P(Acheter un produit | Être un client américain) * P(Être un client américain) + P(Acheter un produit | Être un client européen) * P(Être un client européen) + P(Acheter un produit | Être un client asiatique) * P(Être un client asiatique) = 5% * 30% + 3% * 40% + 2% * 30% = 3.3%
La probabilité qu’un client achète un produit sachant qu’il vient d’Asie est donc :
P(Acheter un produit | Être un client asiatique) = 2% * 3.3% / 100% = 0.066%
Ainsi, la probabilité qu’un client achète un produit sur votre site sachant qu’il vient d’Asie est de 0.066%.